GPT答：

7i24.cn

设三个连续的正整数为 x-1, x, x+1，则它们的积为 (x-1)x(x+1)=x^3-x。因此，要求 2020n 可以写成三个连续的正整数之积，就是要求存在一个正整数 x 满足：

2020n = x^3 - x

将等式两边同时除以 4，得到：

505n = \frac{x^3 - x}{4}

由于 n 是正整数，所以左边必须是一个自然数。而右边可以分解因式：

\frac{x^3 - x}{4} = \frac{x(x-1)(x+1)}{4}

由于任意三个连续的自然数中必有一个是偶数且另外两个都是奇数，所以在这里必定存在一个因子 2。如果将其中一个奇因子提出来，则上式变为：

\frac{x(x-1)(x+1)}{4} = \left(\frac{x}{2}\right)\cdot(x-1)\cdot\left(\frac{x+1}{2}\right)

这样就可以看出右边一定能够被 505 整除。

现在问题转化为：找到最小的满足条件的正整数 n。根据题目中给出的条件可知，

2020n = (x-1)x(x+1) ≥ (x-2)(x-1)x

即

2020 ≥ \left(  \dfrac{(x-2)(x-1)x }{n}   \right)

注意到左侧不含变量 n，在保证右侧大于等于某一值时取得最小值需要令其尽可能地小。

当且仅当 n=5×101×4049（即5*101*4049=204545）时取等号。

此时有： 

\begin{aligned} &\dfrac{(2018\times2019\times2020)}{(5\times101\times4049)} \\ =&2018\times19.98\dots \\ =&40389.98\dots >40389\\ &\dfrac{(2017\times2018\times2019)}{(5\times101\times4049)}\\ =&19.96\dots<20\\ &\end{aligned}

故答案为 $\boxed{n=204545}$ 。