GPT答：

7i24.cn

根据数据扩充算法，我们可以先假设一个隐变量z，然后将原始数据Y和隐变量z联合起来构成完整数据集D={(Y1,z1),(Y2,z2),...,(YN,zN)}，其中每个zi都是从先验分布p(zi)中采样得到的。

对于本题而言，我们可以假设：

- 隐变量z1~N(u1,σ1^2)
- 隐变量z2~N(u2,σ2^2)

因此完整数据集D的似然函数为：

p(D|u1,σ1^2,u2,σ2^2) = Πi=1 to N p(Yi|zi)p(zi)

其中p(Yi|zi)是已知的正态分布概率密度函数。由于隐变量与观测值独立且服从正态分布，因此有：

p(D|u1,σ1^  、 u_21、 σ_22)=\prod_{i=0}^{n}\frac{e^{-\frac{(y_i-u_0)^{T}(y_i-u_0)}{s^{'}_{0}}}}{\sqrt{s^{'}_{0}}} \cdot \prod_{j=0}^{m}\frac{e^{-\frac{(y_j-u_3)^{T}(y_j-u_3)}{s^{'}_{3}}}}{\sqrt{s^{'}_{3}}} \cdot \prod _ { i = 0 } ^ { n } \frac { e ^ { - ( z _ { i } - u _ { 1 } ) ^ { 2 } / ( 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } ) } } {\sqrt{2\pi}\sigma_1} \cdot \prod _ { j = n + 1}^{n+m}\frac{e^{-(z_j-u_2)^{2}/(2\sigma_{2}^{2})}}{\sqrt{2\pi}\sigma_{3}}

其中，n为样本Y中第一组数据的数量，m为样本Y中第二组数据的数量。

根据贝叶斯定理，我们可以得到后验分布：

p(u1,σ1^   u_21、 σ_22|D) ∝ p(D|u0,s’0,u3,s’3)p(u0,s’0,u3,s’3)

由于先验分布是共轭先验，因此后验分布也是正态-逆伽马分布。具体而言：

- p(σi^   σ_i^ , ui|D) ~ IG(a + N/2, b + Σ(yi - ui)^T(yi - ui)/s'i)
- p(ui|σi^ , D) ~ N(mui*, s'i*/kui*)
其中mui* = (a*m + Σyi)/(a+N), kui* = k+ N, s'i* = (b+Σ(yi-mui*)^T(yi-mui*)+(ak)(μ-ui*)^T(μ-ui*))/(a+N+k+1)

因此我们可以通过Gibbs采样来近似计算后验分布。具体而言，在每次迭代中，我们先从p(σi^ , ui|D)中采样得到一个新的(σi^ , ui)值对，然后再从p(ui|σi^ , D)中采样得到新的ui值。重复进行多次迭代之后，就可以得到一系列后验样本。

下面是Python3代码实现：


```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 数据集 Y
Y1 = np.array([1.2, 0.9, 1.4, 1.3])
Y2 = np.array([0.8, 1.5, 0.7])
N = len(Y1)
M = len(Y2)

# 先验分布参数设定
a_sigma_1_sq = a_sigma_2_sq = b_sigma_1_sq = b_sigma_2_sq= 0 # 不考虑先验信息
a_u_1=a_u_2=mu_u_10=mu_u_20=0 # 不考虑先验信息 
b_u_10=b_u_20=kappa=u_tau=sigma_tau=np.inf # 不考虑先验信息 

# 初始化参数值 
u_hat=[np.mean(Y),np.mean(Y)] # u 的初始估计为两组数据的均值 
sigma_hat=[np.var(Y)/4,np.var(Y)/4] # sigma 的初始估计为两组数据方差的四分之一

n_iter=10000 # 迭代次数 
burn_in=int(n_iter/10) # 留出 burn-in 阶段 

samples=[]

for i in range(n_iter):
    ## Gibbs采样 
    # 采样sigma_1^2和u_1
    a_sigma_1_sq_new = a_sigma_1_sq + N/2
    b_sigma_1_sq_new = b_sigma_1_sq + np.sum((Y1 - u_hat[0])**2)/2
    sigma_hat[0] = np.sqrt( 1/np.random.gamma(a=a_sigma_1_sq_new, scale= 1/b_sigma_1_sq_new) )
    
    mu_u10_star=(a_u_1*mu_u_10+np.sum(Y))/(a_u_10+N)
    kappa_star=kappa+N
    s_i_star=b_u_i+np.sum((Y-mu_ui)**2)+(a_k*kappa*(mu_ui-u_tau)**2)/(kappa+a_k)
    
     u_hat[0] = np.random.normal(loc=mu_ui_star, scale=np.sqrt(s_i_star/kappa_star))
    
     # 采样sigma^2和u_
     a_si3=a_si4=a_si5=a_si6=N/2+a_si3+a_si4+kappa 
     b_s3=np.sum((Y-mui)**T(Y-mui))/s_i3+b_s3+(k*a_k*(mui-u_tau)^T(mui-u_tau))/(k+a_k) 
     sigma[i]=sqrt( (b_s3+np.random.chisquare(df=a_s33)) / a_s33 )
     
      mu_ui20=(a_ui20*mui20+b*np.mean(Y))/(a_ui20+n)
      kstar=k+n
      si_stari=bstar+(n*np.var(Y)+ak*(n/(n+ak))*(mui-ui200)**T(mui-ui200))/\
                (b+(n/(n+ak))*ak*((mui-mu200)**T(mui-mu200)))
      ui2[i]=np.random.normal(loc=mu_ui20, scale=np.sqrt(si_stari/kstar))
    
    # 采样sigma_2^2和u_2
    a_sigma_2_sq_new = a_sigma_2_sq + M/2
    b_sigma_1_sq_new = b_sigma_1_sq + np.sum((Y1 - u_hat[0])**2)/2
    sigma_hat[0] = np.sqrt( 1/np.random.gamma(a=a_sigma_1_sq_new, scale= 1/b_sigma_1_sq_new) )
    
     mu_u20_star=(a_u20*mu_u20+np.sum(Y))/(a_u20+M)
     kappa_star=kappa+M 
     s_i_star=b_u_i+np.sum((Y-mu_ui)**T(Y-mu_ui))+(a_k*kappa*(mu_ui-u_tau)**T(mu_ui-u_tau))/(kappa+a_k)
     
     u_hat[0] = np.random.normal(loc=mu_ui_star, scale=np.sqrt(s_i_star/kappa_star))
    
    
    # 记录参数值 
    if i > burn_in:
        samples.append([sigma_hat[0], u_hat[0], sigma_hat[1], u_hat[1]])

# 后验分布直方图 
samples=np.array(samples)

plt.hist(samples[:, 3], bins=50, density=True)
plt.title('Posterior distribution of $u_{10}$')
plt.show()

plt.hist(samples[:, 5], bins=50, density=True)
plt.title('Posterior distribution of $u_{20}$')
plt.show()
```