GPT答：

7i24.cn

根据题意，我们可以将输入信号表示为$X(z)$，输出信号表示为$Y(z)$。由于白噪声的均值为0，方差为1，则有：

$$E[X(z)]=0,\quad Var[X(z)]=1$$

根据传递函数$H(z)=(z/(z-a))$，我们可以得到系统的差分方程：

$$y[n]-ay[n-1]=x[n]$$

对上式两边同时取Z变换，并利用时域卷积定理和线性性质可得：

$$Y(z)-a\cdot z^{-1}Y(z)=X(z) \Rightarrow Y(z)=\frac{X(z)}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a}\cdot X(Z) $$

因此，输出信号的方差可表示为：

\begin{aligned}
Var[Y(Z)] &= E[|Y(Z)|^2]-|E[Y(Z)]|^2 \\
&= E[|\frac{Z}{Z-a}|^2]\cdot Var[X(Z)] \\
&= E[\frac{|Z|^2}{|Z-a|^2}]\cdot 1
\end{aligned}

接下来需要求解上式中期望部分。由于白噪声是独立同分布的随机过程，则其幅度谱密度（ASD）在所有频率处都相等且等于常数$\sigma_x^2=Var[X(Z)] = 1$。因此，

$$E[\frac{|Z|^2}{|Z-a|^2}] = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{|e^{j\omega}|^2}{|e^{j\omega}-a|^2}\cdot \sigma_x^2d\omega$$

对上式进行化简，可得：

$$E[\frac{|Z|^2}{|Z-a|^2}] = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{1-2a\cos(\omega)+a^2}\cdot d\omega$$

接下来需要利用柯西-斯瓦茨不等式将上式中的分母变形。具体而言，我们可以令$z=e^{j\omega}$，则有：

$$E[\frac{|Z|^2}{|Z-a|^2}] = \oint_C \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})}\cdot |dz|\leq 4\pi $$

其中$C$为单位圆周。由于$\oint_C |dz|= 2\pi$，因此有：

$$E[\frac{|Z|^2}{|Z-a|^2}] \leq 4 $$

综合以上结果可得：

$$Var[Y(Z)] = E[\frac{|Z|^2}{|Z-a|^2}]\cdot Var[X(Z)] \leq 4 $$

因此系统输出信号的方差不超过4。