GPT答：

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首先，我们可以将圆柱看作一个刚体，其转动惯量为$I=\frac{1}{2}m(\frac{d}{2})^2$。由于圆柱在水平面上滚而不滑，所以其运动可以分解为绕重心的转动和质心的平移。由于弹簧联结点在圆柱长度的中点，离轴线为a，则两个弹簧对圆柱产生的力矩相等且反向。设弹簧伸长量为$x$，则根据胡克定律可得每个弹簧对圆柱产生的力大小均为$F=Kx$。

考虑绕重心转动时受到的合外力矩$\tau=F\cdot a-F\cdot(-a)=2Fa$（其中$a=\frac{d}{4}$）。根据牛顿第二定律和角动量定理可得：

$$
\begin{cases}
F=ma\\
I\frac{\mathrm d \omega}{\mathrm d t}=\tau
\end{cases}
$$

将$\tau=2Fa$代入上式得：

$$I \frac{\mathrm d \omega}{\mathrm d t}=2Fa$$

代入$I=\frac{1}{2}m(\frac{d}{2})^2,\ F=Kx,\ a=\frac{d}{4}$并化简可得：

$$
m \ddot{x}+Kx=0
$$

这是一个简谐振动方程，其周期为$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}$。因此，圆柱的振动周期也为$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}$。