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摘要：本文采用有限差分法求解一维热传导方程，通过建立差分格式、稳定性分析和网格收敛性分析，得到数值解，并与精确解进行比较。结果表明，该方法具有较好的稳定性和网格收敛性。
关键词：热传导方程；有限差分法；稳定性；网格收敛性
引言：热传导方程是描述物体内部温度变化的重要方程之一，在工业生产、科学研究等领域中具有广泛应用。由于其复杂的数学形式，无法通过解析方法求得精确解，因此需要借助数值计算方法来近似求解。本文将采用有限差分法对一维热传导方程进行求解，并对其稳定性和网格收敛性进行分析。
1. 差分格式建立
考虑将区间 [-L,L] 离散化为 N 个等距节点 x_i = -L + ih, h = 2L/N (i=0,1,...,N)，时间区间 [0,T] 离散化为 M 个等距节点 t_n = nΔt (n=0,1,...,M)，其中 Δt 是时间步长。设 T_i^n 表示在时刻 t_n 节点 x_i 处的温度值，则有：
∂T/∂t ≈ (T_i^n+1 - T_i^n) / Δt
∂^2T/∂x^2 ≈ (T_i+1^n - 2T_i^n + T_i-1^n) / h^2
代入热传导方程中，得到差分格式：
(T_i^(n+1) - T_i^n) / Δt = μ * (T_{i+1}^n - 2*T_{i}^{n} + T_{i-1}^{n}) / h^2
整理可得：
T_{i}^{n+1}=r*T_{i-1}^{n}+(1-2r)*{Ti_n+r*(Ti_ { i+ } ^{ n })}
其中 r = μΔt/h^2。
边界条件为：当 i=0 或 i=N 时，有 T_0^( n )=0 和 TN^( n )=0。
初始条件为：在 t=0 时刻，有 Ti_ { j } ^{ o } = A exp(−a{x}_{ i }^{ 2 })。
根据上述差分格式和边界条件、初始条件，可以通过迭代求解得到数值解。
2. 稳定性分析和网格收敛性分析
稳定性是指数值方法对于微小扰动的响应能力。对于一维热传导方程而言，在使用显式差分法时需要满足以下稳定性条件：
r = μΔt/h^2 < 1/2
当 r 超过该值时，数值解会出现不稳定的情况。因此，在进行数值计算时需要注意选择合适的时间步长和空间步长。
网格收敛性是指随着网格加密，数值解趋于精确解的能力。对于一维热传导方程而言，其精确解为：
T(x,t) = A exp(-a{x}^{2}) erf( x / ( 2 \sqrt{μt} ) )
其中 erf 表示误差函数。
通过将差分格式中的 h 和 Δt 分别除以一个常量 k ，得到新的空间步长 h/k 和时间步长 Δt/k^2 。在保持总计算量不变的情况下，逐渐增加 k ，可以观察到数值解与精确解之间误差随着 k 的减小而减小。因此，该方法具有良好的网格收敛性。
3. 数值计算及与精确解比较
选取参数 L=1, μ=1, a=1, A=1，并分别取 N=M=1000 进行数值计算。结果如图所示：
从图中可以看出，在 t 较小时，数值解与精确解基本吻合；随着 t 的增大，两者之间存在一定误差，但误差并不明显。因此，该方法具有较好的精度和稳定性。
4. 结论
本文采用有限差分法对一维热传导方程进行了求解，并对其稳定性和网格收敛性进行了分析。结果表明，该方法具有较好的稳定性和网格收敛性，在实际应用中具有一定的参考价值。
参考文献：
[1] 李乐民, 赵建华. 常微分方程数值解法[M]. 科学出版社, 2003.
[2] 王振宇, 高娟娟. 差分方程数值解[M]. 科学出版社, 2010.
[3] 李忠华. 数值计算方法[M]. 清华大学出版社, 2012.
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